Medir una magnitud física es
compararla con un valor de la misma que, por convenio, tomamos como patrón o
unidad. Como resultado obtenemos el número de veces que esta unidad está
contenida en nuestra magnitud, así que siempre tenemos que referirnos a esa
unidad empleada, de lo contrario la medida no tiene sentido. En el proceso
de medición siempre se cometen errores.
La manera de calcular los
errores depende del tipo de medida. Distinguiremos:
MEDIDAS DIRECTAS: Las que se
obtienen comparando la magnitud con el patrón directamente o mediante un
aparato calibrado. Así se suelen medir la longitud, la masa, el tiempo, el
voltaje ...
MEDIDAS INDIRECTAS: Las que
se calculan mediante una fórmula a partir
de magnitudes medidas directamente. Así suelen obtenerse la velocidad,
la superficie...
1. Tipos de
errores
ERRORES DEL EXPERIMENTADOR.
Estos errores suelen provenir
de las hipótesis que el experimentador hace, muchas veces inconscientemente
sobre:
1. Cómo es el sistema físico
que estudia: por ejemplo, suponer que un alambre es un cilindro perfecto.
2. Cómo afecta el aparato de
medida al sistema físico: por ejemplo, suponer que al medir la temperatura de
un pequeño recipiente de agua con un termómetro, aquella no resultaría afectada
por la temperatura inicial de éste.
No hay una regla general para
detectar y corregir estos tipos de errores. Como son más difíciles de detectar que de corregir, el experimentador
deberá analizar en cada experimento las hipótesis implícitas en el método de
medida que utiliza y verificar si son ciertas.
ERRORES DE LOS APARATOS DE
MEDIDA. CUALIDADES DE LOS APARATOS
Los aparatos de medida se
caracterizan por las siguientes cualidades:
RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del
aparato. Por ej.: L=1 mm. en una regla milimetrada. I=0.01 A en cierto amperímetro...
FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo
resultado siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas
condiciones experimentales y distintas condiciones ambientales del aparato
(temperatura, tensión de alimentación, ...).
PRECISIÓN: Es la
característica que nos indica globalmente el error debido al umbral de
sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato. Se suele dar como un tanto
por ciento del fondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión
2% del F.E.
De todas estas
características, la precisión es la que más completamente nos indica el error
de la medida debido intrínsicamente al
aparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con un aparato más
preciso.
EXACTITUD: Es la cualidad de
un aparato que indica que es preciso y está bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite
medidas exactas, pero la exactitud de ambos está limitada por la precisión del
aparato.
El error más típico que
afecta a la exactitud de los aparatos es el “error de cero”. Causado por un defecto
de ajuste del aparato, éste da una lectura distinta de cero cuando lo que mide
vale cero.
2. Errores de
medidas directas
Clasificaremos los errores
según su comportamiento, independientemente de donde provengan, en
errores sistemáticos y errores accidentales.
ERRORES SISTEMÁTICOS: Se
deben a causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas.
Generalmente se deben a falta de calibración de los aparatos o a un mal hábito
del experimentador. Su característica es que se pueden calcular y su efecto
sobre los resultados se puede corregir numéricamente
Ejemplo: error de paralaje al
medir volúmenes de líquidos en una probeta.
ERRORES ACCIDENTALES: Si
medimos dos veces consecutivas la misma cantidad y en las mismas condiciones,
es probable que no coincidan todos los dígitos de la medida.
Esto se debe a causas que
actúan de forma imprevisible, aleatoria, unas veces aumentando, otras
disminuyendo la medida, y en cantidades diferentes en cada intento de medir.
Pueden deberse a pequeñas variaciones en la magnitud a medir, a la limitada fidelidad de los
aparatos y a un experimentador poco hábil. Su característica principal es que
no podemos hacer más que acotarlos en valor absoluto utilizando la teoría
estadística de errores.
La estadística nos indica
cómo tratar los datos sujetos a errores accidentales. Veremos a continuación
los parámetros estadísticos que vamos a utilizar:
− Valor medio: la
media aritmética de los valores recogidos
− Desviación típica de la muestra:
− Desviación estándar de la media o error cuadrático medio:
Cálculo en Excel:
La media de una serie de
datos se obtiene con la función PROMEDIO().
La desviación típica de la
muestra se obtiene con la función DEVESTP().
La desviación estándar será=
desviación típica/RAIZ(n)
Ø
Ejercicio 1: Hemos medido con un cronómetro el tiempo que un móvil
tarda en caer por una rampa. Los resultados (en segundos) han sido: 5’3 , 4’7,
4’5, 5, 5’7. Calcula la media, la desviación típica y la desviación estándar de
la media. Di cuál es el error absoluto y relativo.
3. Errores de
medidas indirectas
Si una magnitud física es una
función de otras, su error se obtiene por procedimientos matemáticos más
complejos, por el llamado método de propagación de errores. En determinados
casos la profesora dará la expresión exacta que se obtiene para el cálculo de
estos errores.
4. Cifras
significativas y presentación de los resultados
Una vez calculado el error
total como se indicó, para expresar el resultado
de una medida se procederá como sigue:
1º-Se
redondea el error total de manera que tenga una cifra significativa (en algunos casos dos).
2º- El valor
de la magnitud no puede ser más preciso que el error, es decir:
La última
cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de
magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).
Ejemplo: Si el error total es 0.005,
1.38342
se redondea a 1.383
1.38371
se redondea a 1.384
1.3 se redondea a 1.300
3º- Una vez
hecho esto, el resultado de nuestras medidas se escribe como: ( x ±
∆x ) unidades
Ejemplos (no incluimos las
unidades en este caso por sencillez):
Medida
|
Error
|
Error redondeado
|
Resultado final
|
Error relativo
|
0’987
|
0’018
|
0’02
|
0’99±0’02
|
2 %
|
25’8251
|
0’068
|
0’07
|
25’83±0’07
|
0,2 %
|
25’825
|
0’072
|
0’07
|
25’82±0’07
|
0,3 %
|
1’88
|
0’66
|
0’7
|
1’9±0’7
|
37%
|
Ø
Ejercicio 2:
Completa la tabla
Medida
|
Error
|
Error redondeado
|
Resultado final
|
Error relativo
|
12
|
0’52
|
|||
356’257
|
11’897
|
|||
364
|
2’6
|
|||
588’6
|
34
|
|||
25’82
|
0’86
|
5. Representación
gráfica
La forma más clara de
representar los resultados experimentales es mediante gráficas. Para
realizarlas hay que tener en cuenta las siguientes observaciones:
a)
En cada eje se
debe indicar la magnitud que se representa y las unidades en que figuran los
datos. Generalmente se representa la variable independiente en el eje x.
b)
El origen de la
gráfica no tiene por qué coincidir con el (0,0).
c)
Elegiremos la
escala más adecuada en cada eje, de manera que la gráfica ocupe la mayor parte
del papel.
d)
Los puntos deben
ser claramente visibles y NO se unirán entre sí ni con los ejes de coordenadas.
e)
Las gráficas se
realizarán en papel milimetrado.
Barras de error:
Si las magnitudes que se representan están afectadas por un
error no despreciable, acompañaremos cada punto por sus barras de error, de
forma que obtendremos un rectángulo centrado en el punto, donde sabemos que sí
se encuentra el valor real de ese dato.
Este “rectángulo de error” tendrá de dimensiones dos
veces el error cometido en la medida de cada una de las dos magnitudes
representadas (2.Δx y 2·Δy , siendo Δx y Δy los
errores correspondientes). La curva que represente el fenómeno físico estudiado
deberá pasar por todos los rectángulos.
6. Recta de
regresión lineal
En el caso más sencillo, las
magnitudes estudiadas tendrán una relación lineal. Sin embargo, debido a los
errores de experimentación, los puntos obtenidos no están perfectamente
alineados.
Existe
una forma teórica de dibujar la recta que más
se ajusta a los datos experimentales. Dicha recta se llama recta de
regresión lineal. Como cualquier recta, la recta de regresión lineal viene
determinada por dos valores: la pendiente a y la ordenada en el origen b.
Los parámetros a y b se
obtienen con unas fórmulas que aquí no incluimos. Nosotros los obtendremos
mediante calculadora.
El coeficiente de correlación lineal r es un número que describe la
intensidad de la relación lineal entre las dos magnitudes. Toma valores desde
menos uno hasta uno, indicando que mientras más cercano a 
, más fuerte será la asociación lineal entre las dos
variables. Si es igual a cero no existe relación lineal alguna entre ambas
variables.
, más fuerte será la asociación lineal entre las dos
variables. Si es igual a cero no existe relación lineal alguna entre ambas
variables.
Relación no lineal:
Si la ley física que se está
investigando implica una relación entre las variables diferente a una recta, se
de be intentar encontrar la expresión matemática de dicha ley.
Por ejemplo, en el caso del
péndulo simple, sabemos que la relación entre el periodo T y la longitud del
hilo L debe ser: 
. Por tanto, si representamos el periodo T frente a la
longitud del hilo L, obtendremos una curva. Si queremos demostrar experimentalmente
que la relación es cuadrática, representaremos a T2 frente a L y deberíamos obtener una recta de pendiente 
.
. Por tanto, si representamos el periodo T frente a la
longitud del hilo L, obtendremos una curva. Si queremos demostrar experimentalmente
que la relación es cuadrática, representaremos a T2 frente a L y deberíamos obtener una recta de pendiente .
Nosotros utilizaremos varios procedimientos para calcular o dibujar la
recta de regresión lineal:
- Excel.
- La calculadora online de la web: http://laplace.us.es/FIApracticas/1011/lineal.xls nos dará los datos de la pendiente y
ordenada en el origen para dibujarla sobre el papel milimetrado, así como
el valor del coeficiente de correlación lineal r.
- La calculadora:
Video
de cómo obtener parámetros estadísticos con la calculadora:
Ø
Ejercicio 3:
Dados
los siguientes datos de un movimiento, represéntalos en una gráfica y dibuja la
recta de regresión lineal. Obtén los valores de a, b y r de dicha recta.
x(cm)
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
80
|
t(s)
|
1
|
2
|
2,5
|
4,1
|
5,5
|
6
|
7,2
|
7,9
|
Utiliza la recta de regresión lineal
para calcular la velocidad del objeto.
con la calculadora online de la web: http://laplace.us.es/FIApracticas/1011/lineal.xls queda así:
con la calculadora online de la web: http://laplace.us.es/FIApracticas/1011/lineal.xls queda así:
Ø
Ejercicio 4:
Deseamos medir la resistencia de una rama
de un circuito eléctrico. Para ello tomamos medidas de la
intensidad de corriente I y la diferencia
de potencial V, obteniéndose los siguientes datos. (Nota: la ley
de Ohm afirma que V=R·I). Dibuja la
gráfica, la recta de regresión y calcula el valor de la resistencia.
V (v)
|
21
|
29
|
39
|
55
|
59
|
I (A)
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
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